Question

【題目】平面內，如圖，在ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，點P為AD邊上任意點，連接PB，將PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．

（1）當∠DPQ=10°時，求∠APB的大小；
（2）當tan∠ABP：tanA=3：2時，求點Q與點B間的距離（結果保留根號）；
（3）若點Q恰好落在ABCD的邊所在的直線上，直接寫出PB旋轉到PQ所掃過的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

①當點Q在平行四邊形ABCD內時，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°，

②當點Q在平行四邊形ABCD外時，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°，

綜上所述，當∠DPQ=10°時，∠APB的值為80°或100°

（2）

解：如圖2中，連接BQ，作PE⊥AB于E．

∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA= ，

∴tan∠ABP=2，

在Rt△APE中，tanA= = ，設PE=4k，則AE=3k，

在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，

∴EB=2k，

∴AB=5k=10，

∴k=2，

∴PE=8，EB=4，

∴PB= =4 ，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴BQ= PB=4

（3）

解：①如圖3中，當點Q落在直線BC上時，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．則四邊形BEPF是矩形．

在Rt△AEB中，∵tanA= = ，∵AB=10，

∴BE=8，AE=6，

∴PF=BE=8，

∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，

∴PF=BF=FQ=8，

∴PB=PQ=8 ，

∴PB旋轉到PQ所掃過的面積= =32π．

②如圖4中，當點Q落在CD上時，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延長線于F．設PE=x．

易證△PBE≌△QPF，

∴PE=QF=x，EB=PF=8，

∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1，

∵CD∥AB，

∴∠FDQ=∠A，

∴tan∠FDQ=tanA= = ，

∴ = ，

∴x=4，

∴PE=4， =4 ，

在Rt△PEB中，PB=， =4 ，

∴PB旋轉到PQ所掃過的面積= =20π

③如圖5中，

當點Q落在AD上時，易知PB=PQ=8，

∴PB旋轉到PQ所掃過的面積= =16π，

綜上所述，PB旋轉到PQ所掃過的面積為32π或20π或16π

【解析】（1）分兩種情形①當點Q在平行四邊形ABCD內時，②當點Q在平行四邊形ABCD外時，分別求解即可；（2）如圖2中，連接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA= = ，設PE=4k，則AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解決問題；（3）分三種情形分別求解即可；
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和解直角三角形，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．