Question

【題目】如圖，△ABC中，點P是AC邊上一個動點，過P作直線EF∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角∠ACD平分線于點F．

（1）請說明：PE＝PF；

（2）當點P在AC邊上運動到何處時，四邊形AECF是矩形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當點P在AC中點時，四邊形AECF是矩形，理由詳見解析.

【解析】

(1)首先證明∠E=∠2根據等角對等邊可得EP=PC，同理可得PF=PC，進而得到EP=PF；

(2)當點P在AC中點時，四邊形AECF是矩形，首先根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形，再證明∠ECF=90°即可.

(1)∵CE平分∠BCA，

∴∠1＝∠2，

∵EF∥BC，

∴∠E＝∠1，

∴∠E＝∠2，

∴EP＝PC，

同理PF＝PC，

∴EP＝PF；

(2)結論：當點P在AC中點時，四邊形AECF是矩形，

理由：∵PA＝PC，PE＝PF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2+∠3=90°，

即∠ECF＝90°，

∴平行四邊形AECF是矩形.