Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點F，E為四邊形ABCD外一點，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，

∴AE∥BD，

∵∠ADE=∠BAD，

∴DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形

（2）解：∵DA平分∠BDE，

∴∠BAD=∠ADB，

∴AB=BD=5，

設BF=x，

則52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，

解得，x= ，

∴AF= = ，

∴AC=2AF= ．

【解析】（1）根據已知和角平分線的定義證明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）設BF=x，根據勾股定理求出x的值，再根據勾股定理求出AF，根據AC=2AF得到答案
【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．