Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是邊BC上的動點，BF⊥AE交CD于點F，垂足為點G，連接CG，下列說法：①AG＞GE；②AE=BF；③點G運動的路徑長為π；④CG的最小值 ﹣1．其中正確的說法有（ ）個．

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解答】∵四邊形ABCD為正方形，BF⊥AE，

∴∠AGB=90°，
∴G點在以AB為直徑，AB中點O為圓心的圓弧上，
∴當點E移動到與C重合時，F點與D點重合，此時G為AC中點，
∴AG=GE，
故①錯誤.
∵當點E運動到C點時停止，
∴點G運動的軌跡為圓，
又∵正方形ABCD的邊長為2，
∴圓弧的長為：×2××1=.
故③錯誤.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
又∵BF⊥AE，
∴∠AGB=90°，
即∠ABG+∠GBE=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠GBE=∠BAG，
在△ABE和△BCF中，
∵，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
故②正確.
當O、G、C三點共線時，CG取得最小，
∵OB=1，BC=2，
∴OC==，
∴CG=OC-OG=-1，
故④正確.
所以答案是：C.
①由題意得∠AGB=90°，G點在以AB為直徑，AB中點O為圓心的圓弧上；故當E移動到與C重合時，F點與D點重合，此時G為AC中點，故①錯誤.
②由正方形的性質得出，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，再由同角的余角相等得出∠GBE=∠BAG，再利用ASA得出△ABE≌△BCF，根據全等三角形性質得出AE=BF，故②正確.
②當點E運動到C點時停止，此時點G運動的軌跡為圓，從而得出②錯誤.
④當O、G、C三點共線時，CG取得最小，根據勾股定理得出OC的長度，再由CG=OC-OG得出④正確.
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和正方形的性質，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．