Question

【題目】兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設圖形中所有的點，線都在同一平面內），其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm.現固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當點C落在邊EF上時停止運動.設三角板平移的距離為x(cm)，兩個三角板重疊部分的面積為y(cm2).

(1)當點C落在邊EF上時，x=_____cm；

(2)若兩個三角板重疊部分的圖形為四邊形時，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)設邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N，直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值.

Answer 1

【答案】（１）15；（2）①y=；（3）

【解析】試題分析：（1）根據銳角三角函數，可得BG的長，根據線段的和差，可得GE的長，根據矩形的性質，可得答案；（2）分類討論：①當0≤t＜6時，根據三角形的面積公式，可得答案；②當6≤t＜12時，③當12＜t≤15時，根據面積的和差，可得答案；（3）根據點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據三角形的中位線，可得NG的長，根據銳角三角函數，可得MG的長，根據線段的和差，可得答案；

試題解析：

（1）如圖1所示：作CG⊥AB于G點．，

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得

BC==6．

在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=9．

四邊形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，

（2）①當0≤x＜6時，如圖2所示．

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG=x，BG=x，重疊部分的面積為y=DGBG=×x×x=x2

②當6≤x＜12時，如圖3所示：

BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．

重疊部分的面積為y=S△BDG﹣S△BEH=DGBG﹣BEEH，

即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）

化簡，得y=﹣x2+2x﹣6；

③當12＜x≤15時，如圖4所示：

AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），

重疊部分的面積為y=S△ABC﹣S△BEG=ACBC﹣BEEG，

即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），

化簡，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；

綜上所述：y=；

（3）如圖5所示作NG⊥DE于G點．，

點M在NG上時MN最短，

NG是△DEF的中位線，

NG=EF=．

MB=CB=3，∠B=30°，

MG=MB=，

MN最小=3﹣=。