Question

【題目】如圖，將等腰直角三角板放在正方形ABCD的頂點B處，且三角板中BE=EF．連AE，再作EG⊥AE且EG=AE．繞點B旋轉三角板，并保證線段FG與正方形的邊CD交于點H．

（1）求證：△ABE≌△GFE．
（2）當DH取得最小值時，求∠ABE的度數．
（3）當三角板有兩個頂點在邊BC上時，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在△ABE和△GFE中，

，

∴△ABE≌△GFE

（2）

解：∵△ABE≌△GFE，

∴∠BAE=∠BGN，

∵∠AMN=∠EMG，

∴∠ANM=∠MEG=90°，

∴MH⊥AB，

同理得，DH=AN，

要使DH最小，則BN最大，

∵BN≤BF，

∴當BF與BN重合時，AN最小，

∴∠ABE=∠FBE=45°

（3）

解：在△APE和△ECG中，

，

∴△APE≌△ECG，

∴GH=BF，

∴∠ECG=APE=135°

∴△HCG是等腰直角三角形，

∴HG=CH=FE，

∴ ，

∵FG=AB=BC，

∴HG=BF，

∴ ．

【解析】（1）由等腰直角三角板和正方形ABCD的特點，直接得到△ABE≌△GFE．（2）由△ABE≌△GFE得到的條件判斷出MH⊥AB，再判斷DH最小時的位置，即可；（3）由△APE≌△ECG得到結論，判斷出△HCG是等腰直角三角形，即可求出結果．