Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，下圖①為點P，Q的“相關矩形”的示意圖．

已知點A的坐標為（1，0），

（1）若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；

（2）點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（3）若點D的坐標為（4，2），將直線y=2x+b平移，當它與點A，D的“相關矩形”沒有公共點時，求出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x-1或y=-x+1；（3）b＞0或b＜-8．

【解析】

（1）由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；

（2）由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（3）分別把點A、D點的坐標代入y=2x+b±2，求得b的數值即可．

（1）∵A（1，0），B（3，1）

由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，

∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1=2；

（2）由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，

又∵點A，C的“相關矩形”為正方形

∴直線AC與x軸的夾角為45°，

設直線AC的解析為：y=x+m或y=-x+n

把（1，0）代入y=x+m，

∴m=-1，

∴直線AC的解析為：y=x-1，

把（1，0）代入y=-x+n，

∴n=1，

∴y=-x+1，

綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x-1或y=-x+1；

（3）把A（1，0），D（4，2）分別代入y=2x+b±2，

得出b=0，或b=-8，

∴b＞0或b＜-8