Question

【題目】（（2016北京市）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（，），點Q的坐標為（，），且，，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”．下圖為點P，Q 的“相關矩形”的示意圖．

（1）已知點A的坐標為（1，0）．

①若點B的坐標為（3，1）求點A，B的“相關矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（2）⊙O的半徑為，點M的坐標為（m，3）．若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2；② 或 ；（2）1≤m≤5 或者．

【解析】

試題分析：（1）①由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；

②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定義可知，MN必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因為點N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點，由此可以求出m的范圍．

試題解析：（1）①∵A（1，0），B（3，1），由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1=2；

②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，又∵點A，C的“相關矩形”為正方形，∴直線AC與x軸的夾角為45°，設直線AC的解析為：y=x+m或y=﹣x+n，把（1，0）分別y=x+m，∴m=﹣1，∴直線AC的解析為：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）設直線MN的解析式為y=kx+b，∵點M，N的“相關矩形”為正方形，∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，∴k=±1，∵點N在⊙O上，∴當直線MN與⊙O有交點時，點M，N的“相關矩形”為正方形，當k=1時，作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，其中A、C為⊙O的切點，直線AD與y軸交于點D，直線BC與y軸交于點B，連接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直線MN的解析式為：y=x+3﹣m．∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）；

同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，當k=﹣1時，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直線MN的解析式為：y=x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；

綜上所述，當點M，N的“相關矩形”為正方形時，m的取值范圍是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．