Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．
（1）填空：點A坐標為；拋物線的解析式為 ．
（2）在圖①中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？
（3）在圖②中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：（1，4）；y=﹣x2+2x+3
（2）解：依題意有：OC=3，OE=4，

∴CE= = =5，

當∠QPC=90°時，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ；

當∠PQC=90°時，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ．

∴當t= 或t= 時，△PCQ為直角三角形

（3）解：∵A（1，4），C（3，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+ ，

∴Q點的橫坐標為1+ ，

將x=1+ 代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣ ．

∴Q點的縱坐標為4﹣ ，

∴QF=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ（AG+DG）

= FQAD

= ×2（t﹣ ）

=﹣ +t

=﹣ （t2+4﹣4t﹣4）

=﹣ （t﹣2）2+1，

∴當t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1

【解析】解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上， ∴點A坐標為（1，4），
設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（1）根據拋物線的對稱軸與矩形的性質可得點A坐標，根據待定系數法可得拋物線的解析式；（2）先根據勾股定理可得CE，再分兩種情況：當∠QPC=90°時；當∠PQC=90°時；討論可得△PCQ為直角三角形時t的值；（3）根據待定系數法可得直線AC的解析式，根據S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣ （t﹣2）2+1，依此即可求解．