Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+2ax+c（其中a、c為常數，且a＜0）與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，此拋物線頂點C到x軸的距離為4．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求∠CAB的正切值；

（3）如果點P是x軸上的一點，且∠ABP＝∠CAO，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）點P的坐標是（1，0）

【解析】

(1) 先求得拋物線的對稱軸方程, 然后再求得點C的坐標,設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+4,將點 (-3, 0) 代入求得a的值即可;

(2) 先求得A、 B、 C的坐標, 然后依據兩點間的距離公式可得到BC、AB,AC的長,然后依據勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°,最后,依據銳角三角函數的定義求解即可;

(3) 連接BC,可證得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得代入個數據可得OP的值，可得P點坐標.

解：（1）由題意得，拋物線y＝ax2+2ax+c的對稱軸是直線，

∵a＜0，拋物線開口向下，又與x軸有交點，

∴拋物線的頂點C在x軸的上方，

由于拋物線頂點C到x軸的距離為4，因此頂點C的坐標是（﹣1，4）．

可設此拋物線的表達式是y＝a（x+1）2+4，

由于此拋物線與x軸的交點A的坐標是（﹣3，0），可得a＝﹣1．

因此，拋物線的表達式是y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如圖1，

點B的坐標是（0，3）．連接BC．

∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，

得AB2+BC2＝AC2．

∴△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，

所以tan∠CAB=．

即∠CAB的正切值等于．

（3）如圖2，連接BC，

∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠ABO＝45°，

∵∠CAO＝∠ABP，

∴∠CAB＝∠OBP，

∵∠ABC＝∠BOP＝90°，

∴△ACB∽△BPO，

∴，

∴，OP＝1，

∴點P的坐標是（1，0）．