Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP＝6．一動點E從O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發，當兩點相遇時停止運動．在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側，設運動的時間為t秒（）．

（1）當t= 時，等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時；

（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；

（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；

（2）當0≤t＜2時，S= 4t＋16；當2≤t＜6時，S= t 2+6t＋；當6≤t＜8時，S= －8t＋80；當8≤t＜12時，S=t2－24t＋144；

（3）存在5個這樣的值，使△AOH是等腰三角形，即： t=6－2或t=6＋2或t=4或t=8或t=0．

【解析】試題分析：（1）當邊FG恰好經過點C時，∠CFB=60°，BF=6-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點，分為0≤t<2，2≤t<6，6≤t<8，8≤t<12四種情況，分別寫出函數關系式；（3）存在．當△AOH是等腰三角形時，分為AH=AO=6，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫出圖形，根據特殊三角形的性質，列方程求t的值．

試題解析：(1)當邊FG恰好經過點C時，∠CFB=60°，BF=6t，

在Rt△CBF中，BC=2，

∴tan∠CFB=，

∴tan60°=，

∴=，

∴t=4，

∴當邊FG恰好經過點C時，時間為t=4，

(2)如圖1，

過點M作MN⊥AB，

①當0t<2時，如圖1，

∵tan60°===，

∴NE=4，

∵EB=6+t，NB=6+t4=2+t，

∴MC=2+t，

∴S= (MC+EB)×BC= (2+t+6+t)×4=4t+16；

②當2t<6時，如圖2，

∵MN=4，EF=OP=12，

∴GH=12×=6，

∴ =，

∴MK=4，

∵EB=6+t,BF=6t,BQ=，

∴BQ= (6t),CQ=4BQ=t2.

∴S=S梯形MKFES△QBF=(MK+EF)×MNBF×BQ==t2+6t+14；

③如圖3，

當6t<8時，

∵MN=4,EF=122(t6)=242t，

∴GH=(242t)×= (12t)，

∴ =，

∴MK=162t，

∴S= (MK+EF)×MN= (162t+242t)×4=8t+80；

④如圖4，

當8t<12時，

∵EF=242t,高為：EF×sin60°=EF= (242t)

S=EF×EF= (242t) 2 =t224t+144

(3)存在，理由如下：

在Rt△ABC中,tan∠CAB= =，

∴∠CAB=30°.

又∵∠HEO=60°，

∴∠HAE=∠AHE=30°.

∴AE=HE=6t或t6.

(Ⅰ)當AH=AO=6時，如圖5，

過點E作EM⊥AH于M,則AM=AH=3.

在Rt△AME中,cos∠MAE=，

∴AE=2，

即6t=2或t6=2,t=62或6+2.

(Ⅱ)當HA=HO時，如圖6，

則∠HOA=∠HAO=30°，

又∵∠HEO=60°，

∴∠EHO=90°.

∴EO=2HE=2AE.

又∵AE+EO=6，

∴AE+2AE=6.

∴AE=2.

即6t=2或t6=2，

t=4或8.

(Ⅲ)當OH=OA時，如圖7，

則∠OHA=∠OAH=30°，

∴∠HOB=60°=∠HEB.

∴點E和O重合，

∴AE=6.

即6t=6或t6=6，

t=12(舍去)或t=0.

綜上所述,存在5個這樣的值,使△AOH是等腰三角形,即：t=62或t=6+2或t=4或t=8或t=0.