Question

【題目】矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20.

【解析】分析：（1）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再證明FA=FC，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出結論；

（2）設DE=x，則AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面積即可．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∵DE=BF，

∴EC=AF，

而EC∥AF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，

∵∠ECA=∠FCA，

∴∠FAC=∠FCA，

∴FA=FC，

∴平行四邊形AFCE是菱形；

（2）解：設DE=x，則AE=EC=8-x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得

42+x2=(8-x)2，

解得x=3，

∴菱形的邊長EC=8-3=5，

∴菱形AFCE的面積為：4×5=20．