Question

如圖，△OAB是邊長為4+2

3

的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸的正半軸上．將△OAB折疊，使點A與OB邊上的點P重合，折痕與OA、AB的交點分別是E、F．如果PE∥x軸，
（1）求點P、E的坐標；
（2）如果拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經過點P、E，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）求E點的坐標就要求出OP，PE的值，在直角三角形OPE中，∠POE=60°，因此OE=2OP，PE=

3

OP，而OA=OE+AE=2OP+

3

OP，據此可求出OP，OE，PE的長．由此求出P和E點的坐標．
（2）將P、E的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．

解答：解：（1）設OP=x，則OE=2x，PE=

3

x．
根據折疊的性質可得AE=PE=

3

x，
則有OA=OE+AE=OE+PE=2x+

3

x=4+2

3

，
∴x=2，
∴OP=2，PE=2

3

，
因此P（0，2），E（2

3

，2）；

（2）將P、E坐標代入拋物線可得：

- 1 2 ×12+2 3 b+c=2 c=2

，
解得：

b= 3 c=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

x+2．

點評：本題著重考查了等邊三角形的性質、圖形旋轉變換、待定系數法求二次函數解析式等重要知識點．