Question

如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線y=-

3

3

x+m與x軸交于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）求過A、O、E三點的拋物線解析式；
（3）若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）（2）由圖可作AF⊥x軸于F，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)求E點坐標和的拋物線解析式；
（3）再作作PG⊥x軸于G，將四邊形OAPE的面積S用x₀來表示，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．

解答：解：（1）作AF⊥x軸于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=

3

∴點A（1，

3

）（1分）
代入直線解析式，
得-

3

3

×1+m=

3

，
∴m=

4 3

3

∴y=-

3

3

x+

4 3

3

當y=0時，-

3

3

x+

4 3

3

=0
得x=4，∴點E（4，0）（3分）

（2）設過A、O、E三點拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線過原點
∴c=0

a+b= 3 16a+4b=0

，
∴

a=- 3 3 b= 4 3 3

∴拋物線的解析式為y=-

3

3

x2+

4 3

3

x（6分）

（3）作PG⊥x軸于G，設P（x₀，y₀）
S_{四邊形OAPE}=S_△AOF+S_梯形AFGP+S_△PGE
=

1

2

(

3

x0+3y0)=

1

2

(-

3

x

2 0

+5

3

x0)（8分）
=-

3

2

(x0-

5

2

)2+

25 3

8

當x0=

5

2

時，S_最大=

25

8

3

．（10分）

點評：此題考查知識點多，但題難度不大，需作輔多條輔助線，在直角三角形中解題，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．