Question

【題目】解答題
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊BC上一點，連接OE，過點O作OE的垂線交AB于點F．求證：OE=OF．
（2）若將（1）中，“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件不變，如圖2，連接EF． ⅰ）求證：∠OEF=∠BAC．
ⅱ）試探究線段AF，EF，CE之間數量上滿足的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（1）連接OB，

∵在正方形ABCD中，O是AC的中點，

∴OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，

∴∠AOB=90°，

又∵OE⊥OF，

∴∠AOF=∠BOE，

在△AOF和△BOE中， ，

∴△AOF≌△BOE，

∴OE=OF；

（2）①∵∠EOF=∠FBE=90°，

∴O，E，F，B四點共圓，

∴∠OBA=∠OEF，

∵在矩形ABCD中，O是AC的中點，

∴OA=OB，∠OAB=∠OBA，

∴∠OEF=∠BAC；

②如圖，連接BD，延長EO交AD于G，

∵BD與AC交于O，

則△OGD≌△DEB，

∴OG=OE，

∴AG=CE，

∵OF⊥GE，

∴FG=EF，

在Rt△AGF中，GF2=AG2+AF2，即EF2=CE2+AF2．

【解析】（1）連接OB，更好正方形的性質得到OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，得到∠AOB=90°，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；（2）①根據已知條件得到O，E，F，B四點共圓，由圓周角定理得到∠OBA=∠OEF，根據矩形的性質即可得到結論；②如圖，連接BD，延長EO交AD于G于是到OG=OE，根據線段的垂直平分線的性質得到FG=EF，根據勾股定理即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．