Question

【題目】如圖，是的直徑，點為上一點，為的切線，于點，分別交、于、兩點.

（1）求證：；

（2）若的半徑為，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MC=．

【解析】

（1）連接OC，利用切線的性質可知∠OCA+∠ACM=90°，結合已知OM⊥AB可得∠ACM=∠ODA=∠CDM，即可證明；
（2）易證△AOD∽△ACB，從而根據相似三角形的性質可得，由勾股定理可求BC=，進而求OD=，在Rt△OCM中利用列方程勾股定理即可求出MC．

解：（1）連接OC，

∵CN為⊙O的切線，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，

∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，

∴MD=MC；

（2）由題意可知AB=5×2=10，AC=4，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴BC==，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB，

∴ 即，

可得：OD=，

設MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+）2=x2+52，

解得：x=，

即MC=．