Question

【題目】九年級（3）班數學興趣小組經過市場調查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數）的售價與銷售量的相關信息如下．已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）．

（1）求出w與x的函數關系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）；（2）銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）24天．

【解析】

試題分析：（1）當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數法即可求出此時y關于x的函數關系式，根據圖形可得出當50＜x≤90時，y=90．再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n，套入數據利用待定系數法即可求出p關于x的函數關系式，根據銷售利潤=單件利潤×銷售數量即可得出w關于x的函數關系式；

（2）根據w關于x的函數關系式，分段考慮其最值問題．當0≤x≤50時，結合二次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值；當50＜x≤90時，根據一次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結論；

（3）令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論．

試題解析：（1）當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b（k、b為常數且k≠0），∵y=kx+b經過點（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售價y與時間x的函數關系式為y=x+40；

當50＜x≤90時，y=90，∴售價y與時間x的函數關系式為y=．

由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數關系，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n（m、n為常數，且m≠0），∵p=mx+n過點（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x為整數），當0≤x≤50時，w=（y﹣30）p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=；

當50＜x≤90時，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是．

（2）當0≤x≤50時，w==，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元．

當50＜x≤90時，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小，∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元．

∵6050＞6000，∴當x=45時，w最大，最大值為6050元．

即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．

（3）當0≤x≤50時，令w=≥5600，即≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；

當50＜x≤90時，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤，∵x為整數，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．

綜上可知：21+3=24（天），故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．