Question

【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．

（1）如圖1，若，點在外部，則有，又可證，得，將點移到內部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則之間有何數量關系？請證明你的結論；

（2）在如圖2中，將直線繞點逆時針方向旋轉一定角度交直線于點如圖3，則之間有何數量關系？ (不需證明)；

（3）根據（2）的結論，求如圖4中的度數．

Answer 1

【答案】（1）不成立，；證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）延長BP交CD于點E，根據AB∥CD得出∠B=∠BED，再由三角形外角的性質即可得出結論；
（2）連接QP并延長，由三角形外角的性質得出∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，由此可得出結論；
（3）由（2）的結論得：∠AFG=∠B+∠E．∠AGF=∠C+∠D．再根據∠A+∠AFG+∠AGF=180°即可得出結論．

解：（1）不成立，結論是∠BPD=∠B+∠D．
延長BP交CD于點E，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BED，
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）結論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
連接QP并延長，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，

即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；

（3）由（2）的結論得：∠AFG=∠B+∠E．∠AGF=∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．