Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AB1C1 ， 當點C1、B1、C三點共線時，旋轉角為α，連接BB1 ， 交AC于點D．下列結論：①△AC1C為等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α=75°；④CA=CB1 ， 其中正確的是（ ）
A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AB1C1 ， ∴△ABC≌△AB1C1 ，
∴AC1=AC，
∴△AC1C為等腰三角形；故①正確；
∴AC1=AC，
∴∠C1=∠ACC1=30°，
∴∠C1AC=120°，
∴∠B1AB=120°，
∵AB1=AB，
∴∠AB1B=30°=∠ACB，
∵∠ADB1=∠BDC，
∴△AB1D∽△BCD；故②正確；
∵旋轉角為α，
∴α=120°，故③錯誤；
∵∠C1AB1=∠BAC=45°，
∴∠B1AC=75°，
∵∠AB1C1=∠BAC=105°，
∴∠AB1C=75°，
∴∠B1AC=∠AB1C，
∴CA=CB1；故④正確．
故選B．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)，還要掌握旋轉的性質(①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關知識才是答題的關鍵．