Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，連接AC、BD，半徑CO交BD于點E，過點C作切線，交AB的延長線于點F，且∠CFA=∠DCA．
（1）求證：OE⊥BD；
（2）若BE=2，CE=1 ①求⊙O的半徑；
②求△ACF的周長

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CF是⊙O的切線，

∴OC⊥CF，

∴∠OCF=90°，

∵∠DCA=∠DBA，

∴∠DBA=∠CFA，

∴DB∥CF，

∴∠OEB=∠OCF=90°，

∴OE⊥DB；

（2）解：①設⊙O的半徑為r，

∵CE=1，OE=r﹣1，

∵BE=2，

在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2，

∴r2=（r﹣1）2+22，

∴r= ，

∴⊙O的半徑為 ；

②連接BC，

∵CE=1，BE=2，

∴BC= ，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC= =2 ，

∵CF是⊙O的切線，

∴∠A=∠BCF，

∵∠F=∠F，

∴△ACF∽△CBF，

∴ =2，

∴CF=2BF，

∵ ，

∴CF2=AFBF，

∴4BF2=（5+BF）BF，

∴BF= ，

∴CF= ，AF= ，

∴△ACF的周長=AC+CF+AF=2 + + =10+2 ．

【解析】（1）根據切線的性質得到OC⊥CF，推出DB∥CF，根據平行線的性質即可得到結論；（2）①設⊙O的半徑為r，根據勾股定理求得結論； ②連接BC，根據勾股定理得到BC= ，根據圓周角大家得到∠ACB=90°，根據勾股定理得到AC= =2 ，由弦切角定理得到∠A=∠BCF，根據相似三角形的性質得到CF=2BF，BF= ，于是得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．