Question

【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB=25，CD=17．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）角度，如圖2所示．

（1）利用圖2證明AC=BD且AC⊥BD；
（2）當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，求AC的長和α的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖2中，延長BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，

∵∠OGB=∠AGE，

∴∠CAO+∠AGE=90°，

∴∠AEG=90°，

∴BD⊥AC．

（2）解：如圖3中，設AC=x，

∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，

∴x2+（x+17）2=252，

解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，

∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC= =

【解析】（1）由旋轉的性質得到∠AOC=∠DOB，得到△AOC≌△BOD（SAS），得到對應邊、對應角相等，即AC=BD，∠CAO=∠DBO，由角的和差和相等的角得到BD⊥AC；（2）由BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，得到△ABC是直角三角形，根據勾股定理得到x2+（x+17）2=252，求出x的值，由角的和差，得到∠α=∠ABC，即sinα=sin∠ABC=.
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．