Question

【題目】已知斜邊為10的直角三角形的兩條直角邊長a，b為方程x2－mx＋3m＋6＝0的兩個根．

(1)求m的值；

(2)求直角三角形的面積和斜邊上的高．

Answer 1

【答案】(1)14；(2) 直角三角形的面積為24，斜邊上的高為4.8.

【解析】試題分析：由勾股定理得出a2＋b2＝100，然后根據韋達定理分別將a+b、ab用含m的式子表示，再變形為關于m的一元二次方程，解出m再一一驗證即可；（2）求直角三角形面積直接利用公式，要求斜邊上的高可以利用面積法求解．

試題解析：解：(1)由勾股定理得a2＋b2＝100，

∵a，b為方程x2－mx＋3m＋6＝0的兩個根，

∴a＋b＝m，ab＝3m＋6.而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝100，

∴m2－2(3m＋6)＝100，解得m1＝14，m2＝－8.

當m＝14時，方程為x2－14x＋48＝0，

方程的兩個根x1＝6和x2＝8符合題意；

當m＝－8時，方程為x2＋8x－18＝0，

方程的兩個根異號，不可能作為直角三角形兩條直角邊的長，所以舍去m＝－8.

故m的值為14.

(2)S＝ab＝24.設斜邊上的高為h，

則有×10×h＝24，解得h＝4.8.

即直角三角形的面積為24，斜邊上的高為4.8.