Question

已知等邊△ABC和⊙M.
（1）如圖l，若⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，求證： AM∥BC;
（2）如圖2，若⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，求證：四邊形ABCM是平行四邊形．

Answer 1

證明見解析

證明：（1）連接AM，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°。
∴∠KAC=180°﹣∠BAC=120°。
∵⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°。
∴∠KAM=∠B=60°。∴AM∥BC。
（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°。
∴∠KAC=180°﹣∠BAC=120°，∠FCA=120°。
∵⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°，
∠FCM=∠ACM=∠FCA=×120°=60°。
∴∠KAM=∠B=60°，∠FCM=∠B=60°。
∴AM∥BC，CM∥AB，∴四邊形ABCM是平行四邊形。
（1）由等邊△ABC，即可得∠B=∠BAC=60°，求得∠KAC=120°，又由⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，利用切線長定理，即可得∠KAM=60°，然后根據同位角相等，兩直線平行，證得AM∥BC。
（2）根據（1），易證得AM∥BC，CM∥AB，從而可證得四邊形ABCM是平行四邊形。