Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx上有兩點A、C，分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點B、點D，OC與AB相交于點E．已知點A（1，3），且△AOB≌△OCD．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P為線段OC上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點F，當四邊形AEPF為平行四邊形時，求點P坐標；

（3）如圖2，若△AOB沿AC方向由A→C平移得到△A′O′B′，在平移過程中，△AOB與△OCD的重疊部分的面積記為S，試探究S是否存在最大值？若存在，求出A′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x 2＋x; (2) （2，） ;(3)見解析.

【解析】分析：（1）由全等三角形的性質得到OB=CD，AB=OD．即可得到C的坐標，把A、C的坐標代入，解方程即可得到結論；

（2）設直線OC的解析式為：y=kx，把C的坐標代入即可得到k的值，從而得到E的坐標．設點P（m，m），則F(m，m2＋m ) ．要使四邊形AEPF為平行四邊形 ，則AE=PF ，解方程即可得到結論；

（3）設A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得直線AC的解析式為y＝-x+4，可設點A′的橫坐標為t，則點A′(t，－t +4 )，點Q的坐標為(t，) ．

過點R作RF⊥A′B′于點F，由相似三角形的性質可求出RF的長，由△A′KT∽△A′O′B′可求出KT的長，進而得到A′Q的長，由S四邊形RKTQ＝S△A′KT－S△A′RQ得到S是關于t的二次函數，配方即可得出結論．

詳解：（1）∵△AOB≌△OCD，∴OB=CD，AB=OD．

∵A（1，3），∴C（3，1），

∴，

解得：a＝，b＝，∴拋物線的解析式為y＝x 2＋x，

（2）設直線OC的解析式為：y=kx，則1=3k ，∴k=，∴E（1，）．

設點P（m，m），則F(m，m2＋m ) ．

要使四邊形AEPF為平行四邊形 ，則AE=PF ∴3-=m2＋m-m，

∴m=1（不合題意，舍去）或m=2 ∴P（2，），∴當四邊形AEPF為平行四邊形時，P點的坐標為（2，）．

（3）設A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得直線AC的解析式為y＝-x+4，可設點A′的橫坐標為t，則點A′(t，－t +4 )，∴點Q的坐標為(t，) ．

過點R作RF⊥A′B′于點F．

∵△A′RQ∽△AOE，∴，∴RF＝＝，

由△A′KT∽△A′O′B′得，∴KT＝A′T＝ (4－t)，A′Q＝(－t+4)－＝，

∴S四邊形RKTQ＝S△A′KT－S△A′RQ＝KT·A′T－A′Q·RF＝·(4－t)－· ，

＝=，∴當t=2時，S最大，∴A′(2，2) ．