Question

【題目】先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：

材料：過拋物線y=ax2（a＞0）的對稱軸上一點（0，﹣）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點P到點F（0，）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點F與直線l分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x2的焦點為（0，）．

問題：若直線y=kx+b交拋物線y=x2于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準線l，垂直足分別為C、D（如圖）．

①求拋物線y=x2的焦點F的坐標；

②求證：直線AB過焦點時，CF⊥DF；

③當直線AB過點（﹣1，0），且以線段AB為直徑的圓與準線l相切時，求這條直線對應的函數解析式．

Answer 1

【答案】①F（0，1）；②證明見解析；③AB對應的函數解析式為y=x+1．

【解析】

①將a=代入題中給出的焦點坐標公式中即可．
②根據焦點的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果連接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等證出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得證．
③可連接圓心與切點，設圓心為M，切點為N，那么MN就是梯形ACDB的中位線，因此MN=（AC+BD）=AB，根據焦點的定義知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是說直線AB恰好過焦點F，那么可根據F的坐標（①已求得）和已知的點（-1，0）的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．

①F（0，1）

②證明：∵AC=AF，

∴∠ACF=∠AFC

又∵AC∥OF，

∴∠ACF=∠CFO，

∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；

而∠AFO+∠BFO=180°

∴∠CFO+∠DFO=（∠AFO+∠BFO）=90°；

∴CF⊥DF．

③設圓心為M，且與l的切點為N，連接MN；

∴MN=AB

在直角梯形ACDB中，M是AB的中點．

∴MN=（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．

∴MN=（AF+BF）

∴AF+BF=AB

∴AB過焦點F（0，1）．

又AB過點（﹣1，0）

∴

解得

∴AB對應的函數解析式為y=x+1．