Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=6，∠B=60°，∠D=90°，連結AC．動點P從點B出發，沿BC以每秒1個單位的速度向終點C運動（點P不與點B、C重合）．過點P作PQ⊥BC交AB或AC于點Q，以PQ為斜邊作Rt△PQR，使PR∥AB．設點P的運動時間為t秒．

（1）當點Q在線段AB上時，求線段PQ的長．（用含t的代數式表示）

（2）當點R落在線段AC上時，求t的值．

（3）設△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S平方單位，求S與t之間的函數關系式．

（4）當點R到C、D兩點的距離相等時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t（0＜t≤3）；（2）s；（3）當0＜t≤時，S==t2；當＜t≤3時，S=﹣t2+15t﹣18；當3＜t＜6時，S=﹣t2﹣3t+9；（4）2s或4s．

【解析】試題分析：（1）Rt△PQB中利用解直角三角形易求出線段PQ的長。

（2）當R落在AC上時，易知PC=RC=PQ，在Rt△PQR中，利用解直角三角形求出PR=32t，由BP+PC=6，建立方程求出t的值。

（3）分三種情況進行討論：如圖3中．當0＜t≤時，重疊部分是△PQR．根據三角形的面積公式，可求出S與t之間的函數關系式；如圖4中，當 ＜t≤3時，重疊部分是四邊形PMNQ，根據S=S△PQR﹣S△RMN即可求出結果；如圖5中，當3＜t＜6時，重疊部分是△PQM．則S= S△PQC ， 即可求出S與t之間的函數關系式。

（4）根據兩種情況在圖3和圖5中，根據點R到C、D兩點的距離相等建立方程求解即可。

（1）解：如圖1中，

當點Q在線段AB上時，BP=t，

在Rt△PQB中，∵∠BPQ=90°，∠B=60°，

∴PQ=BPtan60°= t（0＜t≤3）

（2）解：如圖2中，

當R落在AC上時，易知PC=RC=PQ，

在Rt△PQR中，∵∠PRQ=90°，PQ= t，∠PQR=60°，

∴PR=PQsin60°= t，

由BP+PC=6可得，t+ t=6，

解得t= s

（3）解：如圖3中．當0＜t≤ 時，重疊部分是△PQR．

S= QRPR= t t= t2 ．

如圖4中，當 ＜t≤3時，重疊部分是四邊形PMNQ．

S=S△PQR﹣S△RMN= t2﹣ [ t﹣（6﹣t）] [ t﹣（6﹣t）]=﹣ t2+15 t﹣18 ．

如圖5中，當3＜t＜6時，重疊部分是△PQM．

S= S△PQC= （6﹣t） （6﹣t）= t2﹣3 t+9

（4）解：在圖3中，點R到C、D兩點的距離相等時，則有 tsin60°= ×6× ，解得t=2．

在圖5中，點R到C、D兩點的距離相等時，則有 （6﹣t） = 6 ，解得t=4．

綜上所述，t=2s或4s時，點R到C、D兩點的距離相等