Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線y=﹣ x2+ x+4經過A、B兩點．

（1）寫出點A、點B的坐標；
（2）若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P，連接PA、PB．設直線l移動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使得△PAM是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=﹣ x2+ x+4中：

令x=0，y=4，則 B（0，4）；

令y=0，0=﹣ x2+ x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，則 A（8，0）；

∴A（8，0）、B（0，4）．

（2）

解：

△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．

由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣ x+4；

依題意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；

∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；

S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；

∴當t=2時，S有最大值，且最大值為64．

（3）

解：∵PM∥y軸，∴∠AMP=∠ACO＜90°；

而∠APM是銳角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；

由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直線AC：y= x﹣4；

所以，直線AP可設為：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：

﹣16+h=0，h=16

∴直線AP：y=﹣2x+16，聯立拋物線的解析式，得：

，解得 、

∴存在符合條件的點P，且坐標為（3，10）．

【解析】（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定點B的坐標；令y=0，能確定點A的坐標．（2）四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分；△ABC的面積是定值，關鍵是求出△PBA的面積表達式；若設直線l與直線AB的交點為Q，先用t表示出線段PQ的長，而△PAB的面積可由（ PQOA）求得，在求出S、t的函數關系式后，由函數的性質可求得S的最大值．（3）△PAM中，∠APM是銳角，而PM∥y軸，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一種可能，即 直線AP、直線AC垂直，此時兩直線的斜率乘積為﹣1，先求出直線AC的解析式，聯立拋物線的解析式后可求得點P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．