Question

（2012•武漢模擬）要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m．
（1）建立適當的平面直角坐標系，使水管頂端的坐標為（0，2.25），水柱的最高點的坐標為（1，3），求出此坐標系中拋物形水柱對應的函數關系式（不要求寫取值范圍）；
（2）如圖，在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3m，最內軌道的半徑為rm，其上每0.3m的弧長上安裝一個地漏，其它軌道上的個數相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏．求當r為多少時池中安裝的地漏的個數最多？

Answer 1

分析：（1）根據題意確定拋物線的頂點坐標為（1，3），設拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，根據水柱高為2.25米，將點（0，2.25）代入拋物線解析式求a即可；
（2）根據（1）中求出的拋物線解析式求水柱落地點離池中心的距離，根據池中安裝地漏的個數m=內圈裝地漏的個數×圈數，列出函數關系式，根據二次函數的性質求最大值．

解答：解：（1）如圖，依題意建立平面直角坐標系，
∵點（1，3）為拋物形水柱的頂點，
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，將點（0，2.25）代入，得
2.25=a（0-1）²+3，
解得a=-

3

4

，
因此，拋物形水柱對應的函數關系式為：y=-

3

4

（x-1）²+3；

（2）當y=0時，-

3

4

（x-1）²+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
根據實際，x=-1舍去，
所以，x=3，即水柱落地點離池中心3m，
設池中安裝地漏m個，依題意得
m=

2πr

0.3

•

3-r

0.3

，即m=

2π

0.09

（3r-r²）=-

2π

0.09

（r-

3

2

）²+50π，
所以，當r=1.5時，池中安裝的地漏的個數最多．

點評：本題考查了二次函數的運用．關鍵是根據題意設拋物線解析式，根據條件求拋物線解析式，再列出池中安裝地漏個數的函數關系式．