Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為A（1，﹣1）的拋物線經過點B（5，3），且與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點O到直線AB的距離；
（3）點M在第二象限內的拋物線上，點N在x軸上，且∠MND=∠OAB，當△DMN與△OAB相似時，請你直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣1，

將B點坐標代入函數解析式，得

（5﹣1）2a﹣1=3，

解得a=．

故拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣1

（2）

由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，

OA2+AB2=OB2，

∴∠OAB=90°，

O到直線AB的距離是OA=

（3）

設M（a，b），N（a，0）

當y=0時，（x﹣1）2﹣1=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

D（3，0），DN=3﹣a．

①當△MND∽△OAB時，=，即=，

化簡，得4b=a﹣3 ①

M在拋物線上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②

聯立①②，得，

解得a1=3（不符合題意，舍），a2=﹣2，b=，

M1（﹣2，），

當△MND∽△BAO時，=，即=，

化簡，得b=12﹣4a ③，

聯立②③，得，

解得a1=3（不符合題意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，

M2（﹣17，80）．

綜上所述：當△DMN與△OAB相似時，點M的坐標（﹣2，），（﹣17，80）

【解析】（1）根據待定系數法，可得拋物線的解析式；
（2）根據勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的長，根據勾股定理的逆定理，可得∠OAB等于90°，根據點到直線的距離的定義，可得答案；
（3）根據拋物線上的點滿足函數解析式，可得方程②，根據相似三角形的性質，可得方程①③，根據解方程組，可得M點的坐標