Question

【題目】如圖，實線部分為某月牙形公園的輪廓示意圖，它可看作是由⊙P上的一段優弧和⊙Q上的一段劣弧圍成，⊙P與⊙Q的半徑都是2km，點P在⊙Q上．

（1）求月牙形公園的面積；
（2）現要在公園內建一塊頂點都在⊙P上的直角三角形場地ABC，其中∠C=90°，求場地的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE．

由已知PD=PQ=DQ，

∴△DPQ是等邊三角形．

∴∠DQP=60°．

同理∠EQP=60°．

∴∠DQE=120°，

∵⊙P和⊙Q交于D、E，

∴QP⊥DE，DF=EF，

∵△EPQ是等邊三角形，

∴∠QDE=30°，

∴FQ= DQ=1，

由勾股定理得：DF= =EF，

即ED=2 ，

S弓形DPE=S扇形QDE﹣S△DQE

= ﹣ ×2 ×1

= ﹣ ，

故月牙形公園的面積=4π﹣2（ π﹣ ）=（ π﹢2 ）km2．

答：月牙形公園的面積為（ π﹢2 ）km2

（2）

解：∵∠C=90°，

∴AB是⊙P的直徑，

過點C作CN⊥AB于點N，S△ABC= CNAB，

∵AB=4km，

∴S△ABC的面積取最大值就是CN長度取最大值，即CN=CP=2km，

S△ABC的面積最大值等于4km2，

故場地的最大面積為4km2

【解析】（1）連接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE，得出等邊三角形DPQ和等邊三角形EPQ，得出∠PQD=∠EQP=60°，根據相交兩圓的性質得出DE⊥PQ，求出FQ和DF的值，求出DE，分別求出扇形DQE的面積和三角形DEQ的面積，即可求出弓形DPE的面積，根據圓的面積和弓形的面積求出答案即可；（2）根據∠ACB=90°得出AB是圓的直徑，是2km，要使三角形ABC的面積最大得出只要高CN最大即可，得出CN的最大值是CP（P和N重合，CN最大），代入求出即可．