Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠B=22.5°,AB的垂直平分線交AB于點Q,交BC于點P,PE⊥AC于點E,AD⊥BC于點D,AD交PE于點F.求證:DF=DC.

Answer 1

【答案】證明:連接PA,
則PA=PB,
∴∠B=∠PAB=22.5° ，
∴∠APD=45°.
又∵AD⊥BC
∴PD=AD.
∵AD⊥BC,
∴∠DPF+∠PFD=90°.
∵PE⊥AC,
∴∠AFE+∠DAC=90°.
又∵∠AFE=∠PFD,
∴∠DPF=∠DAC.
在△PDF和△ADC中,
∴△PDF≌△ADC(ASA).
∴DF=DC.
【解析】:連接PA,根據(jù)中垂線的性質(zhì)定理得出PA=PB,根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠PAB=22.5° ，根據(jù)三角形的外角定理得出∠APD=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出PD=AD ，然后根據(jù)等角的余角相等得出∠DPF=∠DAC，然后利用ASA判斷出△PDF≌△ADC ，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出DF=DC.
【考點精析】利用余角和補角的特征和三角形的外角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知互余、互補是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩個角的位置無關(guān)；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．