Question

如圖I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E(1)BE與IE相等嗎？為什么？(2)試說明IE是AE和DE的比例中項

Answer 1

(1)BE=IE，理由見解析(2)證明見解析

①BE=IE  （1分）
連接BI
∵I為△ABC內心
∴∠1=∠2
∠3=∠5
∵∠3=∠4  ∴∠4=∠5
∵∠BIE=∠2+∠5
∠EBI=∠1+∠4
∴∠BIE=∠EBI
∴BE=IE   （6分）
②∵∠BED=∠AEB
∠4=∠5
∴△BED∽△AEB
∴ 即 BE²=AE·ED
由①知BE=IE
∴IE²=AE·ED
∴IE是AE和DE的比例中項 （10分）
（1）利用內心的性質得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性質得出∠BIE=∠EBI，進而求出即可；
（2）利用相似三角形的性質與判定得出△BED∽△AEB，進而求出BE2=AE•ED，即可得出答案．