Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點

（1）求m的值及C點坐標；
（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由
（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q
①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；
②點P的橫坐標為t（0＜t＜4），當t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B（4，0）代入y=﹣x2+3x+m，

解得，m=4，

∴二次函數解析式為y=﹣x2+3x+4，

令x=0，得y=4，

∴C（0，4），

（2）

解：存在，

理由：∵B（4，0），C（0，4），

∴直線BC解析式為y=﹣x+4，

當直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，△MBC面積最大，

∴ ，

∴x2﹣4x+b=0，

∴△=14﹣4b=0，

∴b=4，

∴ ，

∴M（2，6）

（3）

解：①如圖，

∵點P在拋物線上，

∴設P（m，﹣m2+3m+4），

當四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，

∴m=﹣m2+3m+4，

∴m=1± ，

∴P（1+ ，1+ ）或P（1﹣ ，1﹣ ），

②如圖，

設點P（t，﹣t2+3t+4），

過點P作y軸的平行線l，過點C作l的垂線，

∵點D在直線BC上，

∴D（t，﹣t+4），

∵PD=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，

BE+CF=4，

∴S四邊形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（ PD×CF+ PD×BE）=4PD=﹣4t2+16t，

∵0＜t＜4，

∴當t=2時，S四邊形PBQC最大=16

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先判斷出面積最大時，平移直線BC的直線和拋物線只有一個交點，從而求出點M坐標；（3）①先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數關系式，從而確定出它的最大值．此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，極值的確定，對稱性，面積的確定，解本題的關鍵是確定出△MBC面積最大時，點P的坐標．