Question

閱讀下列材料，然后解答后面的問題．
我們知道方程2x+3y=12有無數組解，但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數解．例：由2x+3y=12，得y=

12-2x

3

=4-

2

3

x，（x、y為正整數）∴

x＞0 12-2x＞0

則有0＜x＜6．又y=4-

2

3

x為正整數，則

2

3

x為正整數．
由2與3互質，可知：x為3的倍數，從而x=3，代入y=4-

2

3

x=2．
∴2x+3y=12的正整數解為

x=3 y=2

問題：
（1）請你寫出方程2x+y=5的一組正整數解：

 

；
（2）若

6

x-2

為自然數，則滿足條件的x值有

 

個；
A、2      B、3       C、4        D、5
（3）七年級某班為了獎勵學習進步的學生，購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品，共花費35元，問有幾種購買方案？

Answer 1

分析：根據題意可知，求方程的正整數解，先把方程做適當的變形，再列舉正整數代入求解．

解答：解：
（1）由2x+y=5，得y=5-2x（x、y為正整數）．
所以

x＞0 5-2x＞0

，即0＜x＜

5

2

∴當x=1時，y=3；
當x=2時，y=1．
即方程的正整數解是

x=1 y=3

或

x=2 y=1

．（只要寫出其中的一組即可）

（2）同樣，若

6

x-2

為自然數，
則有：0＜x-2≤6，即2＜x≤8．
當x=3時，

6

x-2

=6；
當x=4時，

6

x-2

=3；
當x=5時，

6

x-2

=2；
當x=8時，

6

x-2

=1．
即滿足條件x的值有4個，
故選C．

（3）設購買單價為3元的筆記本m本，單價為5元的鋼筆n支．
則根據題意得：3m+5n=35，其中m、n均為自然數．
于是有：n=

35-3m

5

=7-

3

5

m，
解得：

m＞0 7- 3 5 m＞0

，
所以0＜m＜

35

3

．
由于n=7-

3

5

m為正整數，則

3

5

m為正整數，可知m為5的倍數．
∴當m=5時，n=4；
當m=10時，n=1．
答：有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；
或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支．

點評：解題關鍵是要讀懂題目給出的已知條件，根據條件求解．注意筆記本和鋼筆是整體，所有不可能出現小數和負數，這也就說要求的是正整數．