Question

【題目】如圖，點B在線段AC上，點D、E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求證：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q； （i）當點P與A、B兩點不重合時，求 的值；
（ii）當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD⊥BE，

∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，

∵∠C=90°，

∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，

∴∠1=∠E，

∵在△ABD和△CEB中，

，

∴△ABD≌△CEB（AAS），

∴AB=CE，

∴AC=AB+BC=AD+CE

（2）（i）如圖，過點Q作QF⊥BC于F，

則△BFQ∽△BCE，

∴ ，

即 ，

∴QF= BF，

∵DP⊥PQ，

∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°，

∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°，

∴∠ADP=∠FPQ，

又∵∠A=∠PFQ=90°，

∴△ADP∽△FPQ，

∴ ，

即 = ，

∴5AP﹣AP2+APBF=3 BF，

整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，

∵點P與A，B兩點不重合，

∴AP≠5，

∴AP=BF，

由△ADP∽△FPQ得， = ，

∴ = ；

（ii）線段DQ的中點所經過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN．

由（2）（i）可知，QF= AP．

當點P運動至AC中點時，AP=4，∴QF= ．

∴BF=QF× =4．

在Rt△BFQ中，根據勾股定理得：BQ= = = ．

∴MN= BQ= ．

∴線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長為 ．

【解析】（1）根據同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證；（2）（i）過點Q作QF⊥BC于F，根據△BFQ和△BCE相似可得 ，然后求出QF= BF，再根據△ADP和△FPQ相似可得 = ，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應邊成比例可得 = ，從而得解；（ii）判斷出DQ的中點的路徑為△BDQ的中位線MN．求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據中位線性質求出MN的長度，即所求之路徑長．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．