Question

【題目】閱讀理解：
如圖①，圖形l外一點P與圖形l上各點連接的所有線段中，若線段PA1最短，則線段PA1的長度稱為點P到圖形l的距離．

例如：圖②中，線段P1A的長度是點P1到線段AB的距離；線段P2H的長度是點P2到線段AB的距離．
解決問題：
如圖③，平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為（8，4），（12，7），點P從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度向x軸正方向運動了t秒．
（1）當t=4時，求點P到線段AB的距離；
（2）t為何值時，點P到線段AB的距離為5？
（3）t滿足什么條件時，點P到線段AB的距離不超過6？（直接寫出此小題的結果）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，作AC⊥x軸于點C，

則AC=4、OC=8，

當t=4時，OP=4，

∴PC=4，

∴點P到線段AB的距離PA= = =4 ；

（2）解：如圖2，過點B作BD∥x軸，交y軸于點D，

①當點P位于AC左側時，∵AC=4、P1A=5，

∴P1C= = =3，

∴OP1=5，即t=5；

②當點P位于AC右側時，過點A作AP2⊥AB，交x軸于點P2，

∴∠CAP2+∠EAB=90°，

∵BD∥x軸、AC⊥x軸，

∴CE⊥BD，

∴∠ACP2=∠BEA=90°，

∴∠EAB+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠P2AC，

在△ACP2和△BEA中，

∵ ，

∴△ACP2≌△BEA（ASA），

∴AP2=BA= = =5，

而此時P2C=AE=3，

∴OP2=11，即t=11；

（3）解：如圖3，

①當點P位于AC左側，且AP3=6時，

則P3C= = =2 ，

∴OP3=OC﹣P3C=8﹣2 ；

②當點P位于AC右側，且P3M=6時，

過點P2作P2N⊥P3M于點N，

則四邊形AP2NM是矩形，

∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，

∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，

∴ = ，即 = ，

∴P2P3= ，

∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+ = ，

∴當8﹣2 ≤t≤ 時，點P到線段AB的距離不超過6．

【解析】（1）類比定義，過P向直線引垂線，垂足不在線段上，因此P到線段的距離就是PA，須引垂線構造直角三角形；（2）須分類討論：①當點P位于AC左側時②當點P位于AC右側時；（3）模仿（2），分類討論：①當點P位于AC左側②當點P位于AC右側，先計算臨界點，即AP3=6和P3M=6.
【考點精析】本題主要考查了點到直線的距離和全等三角形的性質的相關知識點，需要掌握從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離；全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等才能正確解答此題．