Question

如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓O上，過點O作BC的平行線交AC于點E，交過點A的直線于點D，且∠D=∠BAC.
小題1:求證：AD是半圓O的切線；
小題2:若BC=2，CE=，求AD的長.

Answer 1

小題1:見解析。
小題2:

（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴OA⊥OD
∴AD是半圓O的切線．             
（2）解：∵BC∥OD，∴△AOE∽△ABC，
∴，
又∵BA=2AO，CE=，∴AC=2CE=2．
在Rt△ABC中， AB=，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴ 即．
∴AD=．