Question

【題目】如圖△ABC內接于圓O，I是△ABC的內心，AI的延長線交圓O于點D．
（1）求證：BD=DI；
（2）若OI⊥AD，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵點I是△ABC的內心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；
（2）解：連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I為△ABC內心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC﹣BC），
故AB+AC=2BC，
∴=2．

【解析】（1）要證明ID=BD，利用內心的定義可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所對的圓周角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個外角的和，即可證得∠BID=∠IBD，利用等邊對等角即可證得；
（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，證得：Rt△BDE≌Rt△AIG，則AG=BE=BC，根據直角三角形的內心的性質可得：AG=（AB+AC﹣BC），再根據AB+AC=2BC即可求解．
【考點精析】利用三角形的內切圓與內心對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．