Question

【題目】矩形OABC的頂點A(-8，0)、C(0，6)，點D是BC邊上的中點，拋物線y=ax2+bx經過A、D兩點，如圖所示.

(1)求點D關于y軸的對稱點D′的坐標及a、b的值；

(2)在y軸上取一點P,使PA+PD長度最短,求點P的坐標；

(3)將拋物線y=ax2+bx向下平移,記平移后點A的對應點為A1，點D的對應點為D1，當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到A1、D1兩點距離之和OA1+OD1最短的一點，求此拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）D′(4，6). a=-,b=-3.（2）P(0，4).（3）y=-x2-3x-4.

【解析】試題分析：（1）首先根據矩形的性質得到點B的坐標，然后得到點D的坐標，從而得到點D′的坐標，然后利用待定系數法求得a、b的值即可；
（2）求得直線AD′的解析式后求得直線與y軸的交點坐標即為點P的坐標；
（3）首先利用待定系數法求得直線A1D1′的解析式，根據點O為使OA1+OD1最短的點求得m的值，從而確定拋物線的解析式．

試題解析：（1)由矩形的性質可知：B(-8，6)，∴D(-4，6).∴點D關于y軸對稱點D′(4，6).

將A(-8，0)、D(-4，6)代入y=ax2+bx，得64a-8b=0,16a-4b=6.∴a=-,b=-3.

(2)設直線AD′的解析式為y=kx+n，∴-8k+n=0,4k+n=6.解得k=,n=4.

∴直線y=x+4與y軸交于點(0，4).∴P(0，4).

(3)解法1：由于OP=4，故將拋物線向下平移4個單位時，有OA1+OD1最短.

∴y+4=-x2-3x，即此時的解析式為y=-x2-3x-4.

解法2：設拋物線向下平移了m個單位，則A1(-8，-m)，D1(-4，6-m)，∴D′1（4，6-m）.

令直線A1D′1為y=k′x+b′.則-8k′+b′=-m,4k′+b′=6-m.∴k′=,b′=4-m.

∵點O為使OA1+OD1最短的點，∴b′=4-m=0.∴m=4，即將拋物線向下平移了4個單位.

∴y+4=-x2-3x，即此時的解析式為y=-x2-3x-4.