Question

【題目】某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD(AB＜BC)的對角線的交點O旋轉(①→②→③)，圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．

(1)該學習小組成員意外的發現圖①中(三角板一邊與CC重合)，BN、CN、CD這三條線段之間存在一定的數量關系：CN2＝BN2+CD2，請你對這名成員在圖①中發現的結論說明理由；

(2)在圖③中(三角板一直角邊與OD重合)，試探究圖③中BN、CN、CD這三條線段之間的數量關系，直接寫出你的結論．

(3)試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數量關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)BN2=NC2+CD2；(3)CM2+CN2=DM2+BN2，理由見解析.

【解析】

（1）連結AN，由矩形知AO=CO，∠ABN=90°，AB=CD，結合ON⊥AC得NA=NC，由∠ABN=90°知NA2=BN2+AB2，從而得證；

（2）連接DN，在Rt△CDN中，根據勾股定理可得：ND2=NC2+CD2，再根據ON垂直平分BD，可得：BN=DN，從而可證：BN2=NC2+CD2；

（3）延長MO交AB于點E，可證：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根據勾股定理和對應邊相等，可證：CN2+CM2=DM2+BN2．

（1）證明：連結AN，

∵矩形ABCD

∴AO=CO，∠ABN=90°，AB=CD，

∵ON⊥AC，

∴NA=NC，

∵∠ABN=90°，

∴NA2=BN2+AB2，

∴NC2=BN2+CD2．

（2）如圖2，連接DN．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BO=DO，∠DCN=90°，

∵ON⊥BD，

∴NB=ND，

∵∠DCN=90°，

∴ND2=NC2+CD2，

∴BN2=NC2+CD2．

（3）CM2+CN2=DM2+BN2

理由如下：延長MO交AB于E，

∵矩形ABCD，

∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD，

∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，

∴△BEO≌△DMO（ASA），

∴OE=OM，BE=DM，

∵MO⊥EM，

∴NE=NM，

∵∠ABC=∠DCB=90°，

∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，

∴CN2+CM2=BE2+BN2，

即CN2+CM2=DM2+BN2．