Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=112°.將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為多少？

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）平分；（2）（2）t=59或14 （3）∠AOM－∠NOC=220

【解析】

試題（1）根據角平分線的定義和平角的定義求出∠COP=30°，即可證得直線ON平分∠AOC；

（2）當ON繞O點旋轉至圖②位置時，此時ON轉過60°，旋轉時間為10秒；當ON轉至銳角∠AOC內部平分∠AOC時，ON轉過90°+150°=240°，旋轉時間為40秒；

（3）根據∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=60°，得到∠AOM一∠NOC =30°.

試題解析：（1）直線ON平分∠AOC（如圖），理由如下：

∵OM平分∠BOC，且∠BOC=120°，

∴∠COM=60°，

又∠MON=90°，

∴∠POM=90°，

∴∠COP=30°，

又∠AOC=60°，

∴OP平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC.

（2）當ON繞O點旋轉至圖②位置時，ON平分∠AOC，此時ON轉過60°，

當ON轉至銳角∠AOC內部平分∠AOC時，ON轉過90°+150°=240°，

所以t=10或40（秒） ，

答：旋轉時間t的值為10秒或40秒.

（3） ∠AOM—∠NOC=30°，

∵∠AOM+∠AON=90°，

∠AON+∠NOC=60°，

∴∠AOM一∠NOC =30°.