Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx－3過A(－1，0)、B(3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為2，點P(m，n)是線段AD上的動點．

（1）求直線AD及拋物線的解析式．

（2）過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點H，求線段PH的長度l與m的關系式，m為何值時，PH最長？

（3）在平面內是否存在整點（橫、縱坐標都為整數）E，使得P、H、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣1；y=x2﹣2x﹣3；（2）l=-(m-)2+；；（3）存在；(2，﹣2)或(2，﹣4)或(2，﹣1)或(2，﹣5)或(0，﹣3)或(﹣2，﹣1)

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，建立關于a、b的方程組，解方程組求出a、b的值，就可得出拋物線的解析式；再將x=2代入拋物線求出對應的函數值，得出點D的坐標，利用待定系數法求出直線AD的函數解析式；

（2）利用兩函數解析式，設P點坐標為(m，﹣m﹣1)，H(m，m2﹣2m﹣3)，再列出l與m的函數解析式，將其函數解析式轉化為頂點式，利用二次函數的性質，可求得結果；

（3）利用二次函數的對稱性，可得出點E與點C重合，即可得出點E的坐標，再根據（2）可知PH的長是正整數，DE平行且等于PH，點D的橫坐標為2，可知PH=1或2，再分情況討論分別求出點E的坐標．

（1）把A(－1，0)、B(3，0)代入函數解析式，可求得拋物線的表達式為：y=x2﹣2x﹣3；

當x=2時，y=22﹣2×2﹣3，解得：y=﹣3，即D(2，﹣3)．

設AD的解析式為y=kx+b，將A(－1，0)，D(2，﹣3)代入，可得直線AD的解析式為y=﹣x﹣1；

（2）設P點坐標為(m，﹣m﹣1)，H(m，m2﹣2m﹣3)，l=(﹣m﹣1)﹣(m2﹣2m﹣3)，化簡，得：l=﹣m2+m+2，配方，得：l=-(m-)2+，∴當m=時，l=，所以m為時，PH最長為．

（3）當點P運動到對稱軸上時，則點E與點C重合，點C在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴當x=0時，y=-3，∴點E的坐標為（0，-3）．

∵PH的長是正整數及由（2）可知，DE∥PH，點D的橫坐標為2，PH=1或2．

當PH=1時，則DE=1，∴-3+1=-2；-3-1=-4，∴點E（2，-2）或（2，-4）；

當PH=2時，則DE=2，∴-3+2=-1；-3-2=-5，∴點E（2，-1）（2，-5）．

同理可得點E（-2，-1）．

綜上所述：存在滿足E的點，它的坐標為(2，﹣2)或(2，﹣4)或(2，﹣1)或(2，﹣5)或(0，﹣3)或(﹣2，﹣1)．