Question

【題目】如圖，拋物線y＝+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA＝2，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）連接AD和BC，AD交BC于點(diǎn)E，當(dāng)S△ABE：S△BDE＝5：4時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)F為y軸上的一點(diǎn)，在（2）的條件下，求DF+OF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）D（2，﹣3）；（3）

【解析】

（1）OC=2OA=2，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（-1，0）、（0，-2），則c=-2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）S△ABE：S△BDE=5：4，則AE：ED=5：4，AM∥HD，則AM：HD=AE：ED=5：4，則HD=2，即可求解；

（3）作一條與y軸夾角為α的直線AH，使tan∠HOF＝＝tanα，則sin，過點(diǎn)D作DH⊥AH交AH于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所求點(diǎn)，即可求解．

（1）OC＝2OA＝2，

則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（0，﹣2），

則c＝﹣2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝﹣，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣2；

（2）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣2，

S△ABE：S△BDE＝5：4，則AE：ED＝5：4，

分別過點(diǎn)A、D作y軸的平行線分別交BC于點(diǎn)M、H，

∴AM∥HD，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x﹣2＝﹣，

∵AM∥HD，∴AM：HD＝AE：ED＝5：4，

∴HD＝2，

設(shè)點(diǎn)D（x， x2﹣x﹣2），則點(diǎn)H（x， x﹣2），

DH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝2，解得：x＝2，

故點(diǎn)D（2，﹣3）；

（3）作一條與y軸夾角為α的直線AH，使tan∠HOF＝＝tanα，則sin，

過點(diǎn)D作DH⊥AH，交AH于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所求點(diǎn)，

DF+OF＝FD+HF最小，

過點(diǎn)D作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)N，則∠FDN＝α，

則直線FD的表達(dá)式為：y＝﹣x+n，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線DF的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，故點(diǎn)F（0，﹣），

則OF＝，

DF+OF的最小值＝FD+HF＝+×＝．