Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B（1，0），

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C（0，﹣3）；

∵y=ax2+3ax+c過B（1，0）、C（0，﹣3），

∴ ；

解這個方程組，得 ，

∴拋物線的解析式為：y= x2+ x﹣3

（2）解：過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N

在y= x2+ x﹣3中，令y=0，

得方程 x2+ x﹣3=0解這個方程，得x1=﹣4，x2=1

∴A（﹣4，0）

設直線AC的解析式為y=kx+b

∴ ，

解這個方程組，得 ，

∴AC的解析式為：y=﹣ x﹣3，

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC

= + DM（AN+ON）

= +2DM

設D（x， x2+ x﹣3），M（x，﹣ x﹣3），DM=﹣ x﹣3﹣（ x2+ x﹣3）=﹣ （x+2）2+3，

當x=﹣2時，DM有最大值3

此時四邊形ABCD面積有最大值 ．

【解析】（1）已知了B點坐標，易求得OB、OC的長，進而可將B、C的坐標代入拋物線中，求出待定系數的值，即可得出拋物線的解析式．（2）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；可過D作x軸的垂線，交AC于M，x軸于N；得△ADC的面積是DM與OA積的一半，可設出N點的坐標，分別代入直線AC和拋物線的解析式中，即可求出DM的長，進而可得出四邊形ABCD的面積與N點橫坐標間的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出四邊形ABCD的最大面積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．