Question

【題目】（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸交于點M．

（1）求此拋物線的解析式和對稱軸；

（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接AC，在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，拋物線的對稱軸是 x=3；

（2）存在；P點坐標為（3，）．

（3）在直線AC下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．N（，-3）

【解析】

(1)根據已知條件可設拋物線的解析式為y＝a(x－1)(x－5)．

把點A(0，4)代入上式，解得a＝．

∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－．

∴拋物線的對稱軸是x＝3．

(2)存在，P點的坐標是(3，)．如圖1，連接AC交對稱軸于點P，連接BP，AB．

∵點B與點C關于對稱軸對稱，

∴PB＝PC．

∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC．

∴此時△PAB的周長最小．

設直線AC的解析式為y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得

解得

∴y＝－x＋4．

∵點P的橫坐標為3，

∴y＝－×3＋4＝．

∴P(3，)．

(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N，使△NAC的面積最大．

如圖2，設N點的橫坐標為tt，此時點N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)．

過點N作y軸的平行線，分別交x軸，AC于點F，G，過點A作AD⊥NG，垂足為D．

由(2)可知直線AC的解析式為y＝－x＋4．

把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4．

∴G(t，－t＋4)．

∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t．

∵AD＋CF＝OC＝5，

∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC

＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋．

∵當t＝時，△NAC面積的最大值為．

由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3．

∴N(，－3)．