Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．
（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半徑．
（2）過點E作弦EF⊥AB于M，連接AF，若∠AFE=2∠ABC，求證：四邊形ACEF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OE，設圓O半徑為r，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=10，

根據勾股定理得：AB= =8，

∵BC與圓O相切，

∴OE⊥BC，

∴∠OEB=∠BAC=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BOE∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：r=3

（2）解：∵ = ，∠AFE=2∠ABC，

∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，

∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，

∴∠ABC=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°，

∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，

∴CB∥AF，

∴四邊形ACEF為平行四邊形，

∵∠CAB=90°，OA為半徑，

∴CA為圓O的切線，

∵BC為圓O的切線，

∴CA=CE，

∴平行四邊形ACEF為菱形．

【解析】（1）連接OE，設圓的半徑為r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據BC與圓相切，得到OE垂直于BC，進而得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩角相等的三角形相似得到△BOE與△ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；（2）利用同弧所對的圓周角相等，得到∠AOE=4∠B，進而求出∠B與∠F的度數，根據EF與AD垂直，得到一對直角相等，確定出∠MEB=∠F=60°，CA與EF平行，進而得到CB與AF平行，確定出四邊形ACEF為平行四邊形，再由∠CAB為直角，得到CA為圓的切線，利用切線長定理得到CA=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．