Question

【題目】平面直角坐標系中，點、分別在函數與的圖象上， 、的橫坐標分別為、。

(1)若軸，求的面積；

(2)若是以為底邊的等腰三角形，且a，求的值；

(3)作邊長為2的正方形，使軸，點在點的左上方，那么，對大于或等于的任意實數， 邊與函數的圖象都有交點，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) 的面積為3；

(2) 的值為-3;

(3)理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據反比例函數系數k的幾何意義得出△OAC與△OBC的面積，再求和即可；

（2）分別用a、b表示出A、B兩點的坐標，再根據勾股定理得出OA2=a2+（）2，OB2=b2+（-）2，由OA=OB即可得出結論；

（3）根據題意畫出圖形，設直線CD與函數y=（x＞0）的圖象交點為F，用a表示出A、C兩點的坐標，進而可得出F點的坐標，求出FC的最大值，進而可得出結論．

試題解析：（1）如圖1，AB交y軸于C，

∵AB∥x軸，

∴S△OAC=×|3|=，S△OBC=×|-3|=，

∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=3；

（2）∵點A、B分別在函數y=（x＞0）與y=-（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標分別為a、b．

∴A（a， ）、B（b， ），

∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（-）2，

當OA=OB時，OA2=OB2

∴a2+（）2=b2+（-）2，

整理得：a2b2（a2-b2）=9（a2-b2）．

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴a2-b2≠0

∴a2b2=9，

∴ab=-3；

（3）設直線CD與函數y=（x＞0）的圖象交點為F，如圖2，

∵A點坐標為（a， ），正方形ACDE的邊長為3，

∴C點坐標為（a-3， ），

∴F點的坐標為（a-3， ），

∴FC=-=．

∵a（a-3）=（a-）2-，當a＞時，a（a-3）的值隨a的值的增大而增大，

∴a（a-3）的最小值為3，

∴FC的最大值為3，即FC≤DC，

∴CD與函數y=（x＞0）的圖象有交點．

特別地，當a=3時，點A的坐標為（3，1），此時C（1，1）、D（1，3），

此時點D落在函數y=（x＞0）的圖象上．

∴點F在線段DC上，即對大于或等于3的任意實數a，CD邊與函數y=（x＞0）的圖象都有交點．