Question

【題目】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如：如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，則A、兩點(diǎn)間的距離AB＝|﹣2﹣8|＝10，線段AB的中點(diǎn)C表示的數(shù)為＝3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為　 　，點(diǎn)Q表示的數(shù)為　 　．

（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；

（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；

（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）-2+3t，8-2t；（2）相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；（3）當(dāng)t=1或3時(shí)，PQ=AB；（4）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，可以用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)P和點(diǎn)Q；

（2）根據(jù)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等，可以得到關(guān)于t的方程，然后求出t的值，本題得以解決；

（3）根據(jù)PQ=AB，可以求得相應(yīng)的t的值；

（4）根據(jù)題意可以表示出點(diǎn)M和點(diǎn)N，從而可以解答本題．

（1）由題意可得，

t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為：-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為：8-2t，

故答案為：-2+3，8-2t；

（2）∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等，

∴-2+3t=8-2t，

解得：t=2，

∴當(dāng)t=2時(shí)，P、Q相遇，

此時(shí)，-2+3t=-2+3×2=4，

∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；

（3）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，

∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，

又

∴|5t-10|=5，

解得：t=1或3，

∴當(dāng)t=1或3時(shí)，PQ=AB；

（4）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，

理由如下：∵點(diǎn)M表示的數(shù)為：

點(diǎn)N表示的數(shù)為：

∴MN=

∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．