Question

【題目】在中，為直徑，弦，垂足為，且為的中點，連接．

（1）如圖1，求的度數．

（2）如圖2，連接并延長，交圓于點，連接，求證：

（3）在（2）問的條件下，為弧上的一點，連接，、分別為、上的一點，連接，連接交于點，連接、，若，，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）4

【解析】

(1) 連接，通過求，推出，從而證出為等邊三角形，即可求出；

（2）通過，證出，然后由，即可證出；

（3）延長交圓于點，連接、、，通過圓周角定理證出，通過證明，推出，根據在中，，推出為的中位線，在中，利用勾股定理即可求出CH的長.

（1）連接，

、為圓的半徑，

∴.

為的中點，

∴.

，

∴，

∴在中，，

∴，

∴.

，

∴為等邊三角形，

∴，.

（2），

∴，

∴在中，，

∴，

∴.

（3）延長交圓于點，連接、、

為圓的直徑，

∴，

，

∴.

，

∴.

，，

，

∴.

、為圓的半徑,

∴，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴.

，

∴，

∴.

在中，，

∴，

∴為的中位線，

∴，

∵在中，

∴， ，

∴在中，，

∴.