Question

附加題閱讀、理解和探索
（1）觀察下列各式：①

1

1×2

=1-

1

2

；②

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；③

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…用你發現的規律寫出：第④個式子是（

 

），第n個式子是（

 

）；
（2）利用（1）中的規律，計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

；
（3）應用以上規律化簡：

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+…+

1

(n+2008)(n+2009)

；
（4）觀察按規律排列一組數：

1

3

，

1

15

，

1

35

，…，猜想第n個數是什么（請用含n的式子表達）把它填入求這組數的前n項和：

1

3

+

1

15

+

1

35

+…+（

 

）中的括號內，并把這個和式化簡．

Answer 1

分析：根據題中所給的式子分析可得出結果．注意分母之間的關系．即

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

解答：解：根據以上分析故（1）第④個式子是

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，第n個式子是

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）解：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

（3）解：原式=

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

-

1

n+2

+…+

1

n+2008

-

1

n+2009

=

1

n

-

1

n+2009

=

2009

n(n+2009)

（4）把第n項填入括號：

1

3

+

1

15

+

1

35

+…+（

1

(2n-1)(2n+1)

）可得原式=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

×

2n

2n+1

=

n

2n+1

點評：主要考查了學生的分析、總結、歸納能力，規律型的習題一般是從所給的數據和運算方法進行分析，從特殊值的規律上總結出一般性的規律．